MENGAPA KETIKA ANTESEDEN BERNILAI SALAH DAN KONSEKUEN BERNILAI BENAR MERUPAKAN KEBENARAN? (PART 1)

Bismillahirrahmanirrahim.

Pada kesempatan kali ini, saya ingin membagikan suatu bahasan yang menarik dalam logika formal. Bacaan akan dipaparkan dalam bentuk percakapan sebagai kenangan pertanyaan saya di grup Pesantren Ilmu Eksakta. Sebelum masuk ke pembahasan inti, akan dijelaskan dahulu mengenai pengertian implikasi dan tabel kebenarannya.

Apa itu implikasi?
Jawab: Implikasi adalah hubungan antara dua pernyataan yang mana pernyataan yang kedua merupakan konsekuensi logis dari yang pertama. Dalam logika formal, implikasi sering ditulis dengan bentuk “Jika … maka …”

Kita mempunyai pengertian awal berupa:
p = “Proposisi/pernyataan pertama”
q = “Pernyataan kedua”
p ⟹ q = “Jika p maka q”
B = “Benar”
S = “Salah”
(p atau q dapat diisi kalimat tertutup apa pun yang memiliki nilai benar atau salah)

Berdasarkan pengertian di atas, kita dapat membuat tabel kebenarannya (berdasarkan buku-buku yang masyhur):

p	q	p ⟹ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Muncullah sebuah pertanyaan di pikiran saya, “Mengapa jika p salah maka q benar itu benar?”
Akhirnya, saya tanyakan ke grup PIE karena pikir saya mungkin di sana ada yang ahli dalam logika formal. Anggap bahwa makna p sama dengan P dan makna q sama dengan Q. Di bawah ini merupakan dialog saya dengan Bung Sandi (yang menjawab pertanyaan saya) di grup tersebut.

Saya:

“Dalam proposisi majemuk, kan ada implikasi. Pada tabel kebenarannya menyatakan, “Jika p bernilai S dan q bernilai (B atau S) maka jika p maka q bernilai B.” (#Maaf memakai implikasi padahal masih bingung implikasi)

Mengapa “Jika p bernilai S dan q bernilai (B atau S) ” tidak dikatakan tidak terdefinisi atau tidak diketahui atau (tidak benar dan tidak salah) karena sedari awal tidak terpenuhi syarat alias p-nya salah? Apa sebelum masuk belajar Logika Proposisi harus meyakini hukum tiada jalan tengah?”

Bung Sandi:

“Pelan-pelan ya. Di sistem koherensi murni, P salah jika dan hanya jika P adalah suatu kontradiksi (P ≡ A∧¬A). Selanjutnya dari suatu kontradiksi A∧¬A, saya akan membuat pernyataan-pernyataan implikasi tautologis berikut:

Jika A∧¬A, maka A.
Jika A∧¬A, maka ¬A.

Sampai disini, sebelum saya lanjutkan, apakah ada bantahan?”

Saya: “Alhamdulillah belum ada, Ustaz.”

Bung Sandi:

“Ok. Tadi kita sudah menurunkan 2 buah proposisi sebagai konsekuen dari A∧¬A, kita namakan saja P1 dan P2, yaitu:
P1: A
P2: ¬A

Sekarang, dari P1 saya akan membuat implikasi tautologis lagi, yaitu:
Jika A maka A∨Q

Proposisi A∨Q sebagai konsekuen dari A, saya namai P3:
P3: A∨Q

Terakhir, dari P3 dan P1 ada implikasi tautologis lagi yang bisa kita hasilkan, yaitu:
Jika A∨Q dan ¬A, maka Q.

Sampai disini, sebelum dilanjutkan lagi, apakah ada ganjalan dan pertanyaan?”

Saya:

“Tadi belum ketemu kebingungannya. Sekarang ketemu, hehe.

Yang ingin dibuktikan itu kebenaran isi tabel kebenaran implikasi di atas tetapi kita sudah memakai “Jika p bernilai S maka q bernilai (B atau S)” sebagai sesuai yang benar pada pernyataan:
“Jika A∧¬A maka A.
Jika A∧¬A maka ¬A.”

Afwan Ustaz, apakah tidak daur dan mengapa? 🙏🏻”

Bung Sandi:

“Bagus 👍

Pada “Jika A ∧¬A maka A” dan juga “Jika A ∧¬A maka ¬A”, kita tidak menilai kedua implikasi tsb sebagai “benar” karena “A∧¬A salah”. Ada hal yang lebih mendasar dari itu:

Untuk sembarang P dan Q, pernyataan “Jika P ∧ Q maka P” dan juga “jika P ∧ Q maka Q” bernilai benar tanpa harus menyelidiki terlebih dahulu nilai kebenaran dari P, Q, serta P ∧ Q. Dalam logika ini disebut “eliminasi konjungsi”.

Oh ya, saya mau jelaskan ini dulu:
Misal A adalah suatu proposisi dan B adalah proposisi lain yang berbunyi “A benar”, maka A ≡ B. Jadi, untuk kemudahan, saya akan ubah proposisi “P” menjadi “P benar” dan begitu pula untuk proposisi Q.

Kembali ke “eliminasi konjungsi”, P∧Q dapat dibaca “P benar dan Q benar”. Lalu “Jika P∧Q maka P” dapat dibaca “Jika P benar dan Q benar maka P benar”. Ini jelas sebagai tautologi.

Nah, sekarang saya ganti P dengan A dan Q dengan ¬A:
Jika A ∧¬A maka A.
(Baca: Jika A benar dan ¬A benar maka A benar.)

Itu adalah tautologi berdasarkan “eliminasi konjungsi”. Jika terasa aneh, itu adalah akibat dari dihadirkannya suatu kontradiksi sebagai asumsi pada “eliminasi konjungsi” tsb, otak kita memang secara otomatis bereaksi terhadap setiap kontradiksi 🤓, tapi ini demi menjelaskan kenapa implikasi diberi nilai benar saat antesedennya salah.

Singkatnya begini : Pernyataan “Jika P maka Q” dapat dibaca “Jika P benar maka Q benar”.

Apa yang terjadi saat P salah? Baca saja : “Jika P benar padahal P salah, maka Q benar.”
Perhatikan ada kontradiksi pada asumsi (anteseden) di implikasi tsb.
Asumsi1: P benar
Asumsi2: P salah

Dari asumsi1, dengan “introduksi disjungsi” menghasilkan “P benar atau Q benar” untuk sembarang Q.
Sekarang dengan melibatkan asumsi2 yaitu “P salah” maka…

Langsung saya contohkan dengan kalimat biasa tanpa variabel:
Jika benar saya ada di Bandung padahal sebenarnya saya tidak ada di Bandung, maka saya kebal senjata tajam.
A1: Saya ada di Bandung
A2 : Saya tidak ada di Bandung

Dari A1 (saya ada di Bandung) dengan introduksi disjungsi: “Saya ada di Bandung atau saya kebal senjata tajam” (tak peduli “saya kebal senjata tajam” itu benar atau salah), tetapi karena kita sudah mengasumsikan A1 dan sifat disjungsi yang benar saat salah satu komponennya benar, maka kita harus menerima bahwa disjungsi ini benar). Kita namai disjungsi ini sebagai A3.

Tapi, karena kita juga memiliki asumsi A2, maka A3+A2:
Saya ada di Bandung atau saya kebal senjata tajam, dan saya tidak ada di Bandung, maka dengan berat hati atau pun lapang dada, kita harus menerima bahwa saya kebal senjata tajam. Karena kita tidak bisa menerima A atau B, tapi menolak A dan juga menolak B.

Hikmah dari benarnya suatu implikasi saat antesedennya salah: Jangan jadikan hal yang salah atau mengandung kontradiksi sebagai asumsi dasar (postulat) karena akan menimbulkan kekacauan/kegilaan. Nah, tadi adalah akhir dari alternatif jawaban pertama. Tentu masih terbuka untuk disanggah. Alternatif jawaban tadi diberi nama “Prinsip Ledakan (Principle of Explosion, bisa dicari di google) dalam logika (sistem koherensi) murni.”

Jika nanti belum juga mencapai titik terang, ada alternatif jawaban lain 😁.”

Bersambung …